En la muy antigua Trianglia

En los olvidados mundos de Trianglia.

 

(C) José Enrique Fernández del Campo

jefdelcampo@disvimat.net

Madrid, enero 2017

 

 

Situaciones problemáticas relativas al descubrimiento o construcción de triángulos a partir de tres de sus elementos significativos; ya sean puntos, medidas de segmentos y ángulos o direcciones de rectas.

 

(La colección que aquí va creciendo se nutre de los estudios e investigaciones que en Trianglia van realizando los equipos de arqueólogos, criptógrafos, diplomáticos y otros gremios de curiosos ilustrados.

Muchos enigmas: ¡cientos! Unos, desentrañados, con afloramiento completo de ciudades, incluso. Otros, mera satisfacción de respuesta hallada. Otros más, por último…: a la espera de solución; aunque sea para decir que no la tienen.

Con mucho gusto, se aceptan aportaciones.)

 

La coloración con que se presentan los datos  no supondrá problema para nadie: para eso están los “subíndices”.

 

¿Dibujos, gráficas, ilustraciones gráficas?…

Estarían bien; servirían de ayuda e incluso pista suplementaria en pequeñas distancias. Pero en los recorridos por las extensas soledades de Trianglia, de poco. De muy poco.

Lo que no quiere decir que al investigador de papel –o sin papel…- le sirvan de mucho; de muy mucho.

Pero aquí –salvo la inmensa satisfacción de descubrir la verdad- no se regala nada: somos deficitarios.

Además: es mucho más rápida y económica la transmisión de simples textos ácromos.

 

La numeración que acompaña a cada aventura responde a…: cuando se haya resuelto un buen número, se descubrirá también ella.

 

Las soluciones, o posibles soluciones… Las construcciones que permitirían satisfacer la curiosidad científico-arqueológica…: deben de andar por alguna parte…: cuando se me envía una solución, me pongo a buscar…, y suelo encontrarla, para compararla con la recibida (y no siempre coinciden, aunque las dos sean verdaderas).

Por cierto: que faltan algunas. No se sabe si no existieron nunca o si desaparecieron en un terremoto. Los enunciados se encontrarán en el apartado sobre “Ciudades fantasma”.

 

Aviso.- Se recomienda a los interesados equiparse con “La mochila del arqueólogo”: Conceptos y resultados euclídeos útiles, relacionados con la Geometría del Triángulo.

 

Contenido:

Las ciudades de Trianglia

Excavaciones

Planos semidestruidos

En el archivo central del Servicio Secreto

De ciudades fantasma

 

Las ciudades de Trianglia

 

 

En Trianglia, todas las ciudades tenían forma triangular y estaban amuralladas.

Con torres en sus vértices: una siempre era de color azul, recubierta en su parte superior de bellos mosaicos, otra blanca, almenada con mármol blanco, y la tercera coronada de piedra carmesí. Y algo semejante ocurría con sus murallas: cada una estaba adornada en el color de la torre opuesta.

 

En cada muralla, además de una puerta de acceso justo en la mitad, con una calzada que conducía a la torre de enfrente, se defendía un aljibe en el punto más próximo a dicha torre (lo que en Geometría sería e: “pie de la perpendicular” o “pie de la altura).

Adosado a cada muralla había un almacén, en el punto de la muralla donde cortaría la bisectriz del ángulo opuesto. Ya se ve que les encantaba la Geometría del triángulo.

 

En el punto en que se cortaban las vías que conducían desde cada torre al elemento defensivo o de abastecimiento frente a ella construían edificios tricolores de gobierno… Donde se cruzaban las vías que conducían a los aljibes, la oficina del “ortoarca” o “administrador de las aguas”. Donde concurrían las vías que iban de cada torre a la puerta de enfrente, estaba la central de pesadas, responsabilidad del “baricensor”. Y donde concurrían las vías de almacenes, la “incentral”, dirigida por el “bisector mayor”.

El acontecer en la ciudad y sus alrededores se controlaba desde una “torre vigía”, a igual distancia de las tres torres, en medio de un hermoso circo.

 

Los triangulanos, además de la Geometría –o tal vez por ello-, no sabían vivir sin decorar todo lo que tenían a su alrededor.

Las informaciones que han podido irse recogiendo indican que lo de los colores era casi obsesivo. Bien es cierto que también debía servirles para orientarse en sus desplazamientos dentro de la ciudad y sus proximidades.

Las calzadas que desde cada torre iban a la puerta, el aljibe y el almacén correspondiente estaban señalizadas en su centro con una cadena de distintivos en su color: las que iban a las puertas, con una especie de “mmm” enlazadas; las que conducían a los almacenes, unas quebradas o zig-zags que hoy podríamos interpretar como “www”; y las que llevaban a los aljibes, una especie de “hhhh”.

Muy ingenioso. Seguro que no había forma de perderse. Si te encontrabas con una vía, por el distintivo sabrías adónde conducía, y por el color, a cuál de las tres torres o murallas.

 

Los arqueólogos se preguntan todavía si los triangulanos construyeron ciudades en las que coincidían algunos de estos lugares o calzadas, y qué hacían entonces. Las excavaciones lo dirán. Aunque seguro que podríamos adelantar respuestas… ¿Te atreves?

 

* * *

 

Una y otra vez se plantean situaciones incompletas que convendría completar, enigmas que reclaman respuesta, problemas… muy parecidos. Parecidos, casi iguales. Pero en realidad son muy distintos.

 

Se habla de “pies de alturas” -¡perdón!: aljibes-, direcciones de alturas -¡perdón, otra vez!: calzadas sobre el conducto de agua desde un aljibe a la torre de enfrente, y de alturas -¡ejem, ejem!-… Y de “uertas” –puntos medios de los lados o murallas-, medianas –que son las vías o calzadas que unen cada puerta con la torre opuesta- y de su longitud.

Es decir: unas veces se habla de lugares de la ciudad o puntos notables en un triángulo. Otras, de la dirección de calzadas, murallas o elementos lineales. Y otras, de longitudes, distancias, medidas de segmentos y de incluso ángulos.

 

Pero en unos se cuenta con lugares o puntos ya descubiertos…; ¡y menos mal que los triangulanos tenían obsesión por los colores!… Serán los problemas de estudio de campo, propio de los arqueólogos trabajando en una excavación: se busca localizar exactamente y aflorar la ciudad allí donde está. Un problema de Geometría Afín.

 

En otros, y gracias a trazos de dibujos casi destruidos, se dispone sólo de las direcciones o rectas que contienen a elementos lineales de triángulos. Por los colores, se sabrá si corresponden o no a lados distinos. Y se tratará de reconstruir la forma del triángulo (bastarán los ángulos), el plano de esa ciudad; aun sin conocer las dimensiones. Un problema de Geometría Vectorial o Lineal.

 

Para el tercer tipo sólo se contará con datos numéricos, longitudes o distancias: las medidas de lados… -¡otra vez!: murallas-, tramos de calzadas. Gracias a informaciones parciales, de viajeros o espías, poder conocer cómo era la ciudad entera; con sus dimensiones, aunque sin localizarla ni saber su orientación. Un problema de Geometría Métrica.

 

Y, en todos los casos, dos cuestiones complementarias:

a) Criterio o condiciones de “compatibilidad” (que deben cumplir los datos para que existiera algún triángulo –ciudad- que se ajuste a ellos).

b) Criterio o condiciones para conformar un triángulo equilátero –sea: ciudad regular-.

(A los que puedes añadir: triángulo isósceles en general, triángulo rectángulo, rectángulo isósceles, obtusángulo…: inventa tú los problemas.

 

Tres puntos, tres direcciones o tres medidas pueden bastar para describir la ciudad completa. Con la ayuda de una regla y un compás o, si no se tienen a mano, sirviéndose de la imaginación. Y conocimientos de Geometría del Plano y tu ingenio, claro (¡no desprecies “la mochila del arqueólogo”!).

 

¿”Regla y compás”, he dicho?… O sus equivalentes: herramientas de cualquier programa de dibujo geométrico –mejor freeware. Y si la vista no funciona, regla y compás para dibujar en relieve sobre la lámina de caucho; o, mejor, mucho mejor: con el -tan antiguo como Trianglia- tablero de fieltro, donde las intersecciones y las medidas son exactas -¡hummm!…

 

Excavaciones

 

A7 El misterio de los números de catalogación

 

¡Lo tengo, lo tengo!…

Perdona que te descubra algo que los arqueólogos tenían muy en secreto. Y que arruine tu posibilidad de investigación, y gozo del hallazgo propio. Pero es que no podía aguantarme. Verás.

 

En su afán por descubrir y descubrir ciudades ocultas de Trianglia, los arqueólogos contrataron la semana pasada los servicios de un zahorí (de ésos que van con una varita localizando yacimientos acuíferos).

Y, en efecto, en un área muy reducida encontró tres puntos “húmedos”. Dedujeron que correspondían a antiguos aljibes de una ciudad perdida, y… Cava que te cavarás, confirmaron el informe del señor zahorí: allí estaban: azul, blanco y colorado…

Pero como de Geometría andan pez, ahí te los dejo, para que te ganes la vida resolviendo su problema de localizar las torres o vértices de la ciudad conociendo solamente los pies de las alturas, que es donde emplazaban sus aljibes los triangulanos.

 

Y aquí es donde viene lo bueno… Catalogaron el yacimiento como:

A7 Reconstruir el triángulo, dados los pies de las tres alturas.

O sea: que a partir del nº A7, según nuestros datos, se tienen en cuenta aljibes y almacenes. Y antes sólo parecen interesar torres y puertas de acceso.

 

A14 LA NOSTALGIA DE TU PRIMERA EXCAVACIÓN

 

Los primeros vestigios que se encontraron de una ciudad triangularia fueron únicamente tres: dos restos de puertas, una blanca y otra azul, y el brocal de un pozo rojo; carmesí, quiero decir.

Los arqueólogos habían tirado la toalla: se consideraban incapaces de reconstruir los límites de la ciudad. Y no estaban dispuestos a cavar sin ton ni son…

Hasta que llegaste tú… ¿Te acuerdas?

Y, según me han contado, te bastaron un compás y una regla. Que te pusiste a dibujar, y…, ¡en diez minutos!

¿Podrías decirme qué hiciste para localizar dónde se encontraba cada punto vital de esa ciudad?

La verdad es que: con que me digas cómo localizaste las torres o vértices, me basta.

 

Más:

a)Me pregunto yo: ¿siempre que se descubran dos puertas –puntos medios de lados- y un aljibe –pie de altura-, de colores distintoss, podrán pertenecer a una misma ciudad?

O sea: ¿cuál o cuáles son las condiciones para que la ciudad quede determinada?

b) ¿Cómo deberían estar situados esos puntos para resultar una “ciudad perfecta”: triángulo equilátero?

 

Enunciado aburrido:

A14 Construir un triángulo,localizados los puntos medios de dos de los lados y el pie de la altura correspondiente al tercer lado.

 

A18 Un encargo peligroso

 

Según parece, los régulos y reyezuelos locales de Trianglia, como los de todos los tiempos, tenían sus caprichos… Y su peligro.

La consideración viene a cuento de haberse encontrado en el museo, entre otros, un documento en el que uno de esos primates encargaba a un supuesto y desconocido constructor de ciudades:

(Regular: triángulo equilátero.)

 

O sea: que el pobre constructor de ciudades se debió ver obligado a construir una, que, además de ser regular, debería tener obligadamente una torre y su aljibe de enfrente en lugares predefinidos, así como una cierta puerta –en mitad de una muralla- de color distinto.

 

…Aprovechando que la escarpadura tiene un único acceso posible, sería buen sitio para una puerta. Más concretamente: la puerta carmesí, que se viera desde lejos. Sería la entrada principal a mi ciudad regular…

Hay un lugar formidable para instalar un aljibe. Puede decirse que es un aljibe natural. Me gustaría que fuera mi aljibe azul, frente a mi torre favorita, que también estaría en la escarpadura, en el lugar más alto…

Y, que quede bien claro: ciudad regular, completamente regular. Digan lo que digan mis chambelanes…, y que tan caro les ha costado a otros arquitectillos…

¿Te atreves a apostar por la cabeza del arquitecto?

 

Enunciado aburrido:

A18 Construir un triángulo, dados un vértice, el pie de la altura correspondiente al lado opuesto y el punto medio de otro de los lados.

 

A20 El peligro continúa…

 

¡Ya decía  yo que los caprichos empiezan y no terminan!…

Ahora resulta que:

…No me causó contrariedad tu informe de que el aljibe natural no estaba donde decían los chambelanes, sino como grieta de la escarpadura. Mejor. No sé si para ti, pero peor para esas calamidades de chambelanes, que, a partir de hoy, están a tu disposición como picapedreros… Ya he nombrado otros.

Y, ya sabes: olvídate de la torre azul. Y coloca la torre carmesí bien enfrente del aljibe, que ahora será carmesí. Como corresponde a nuestras inamovibles tradiciones triangulanas.

Y, sobre todo: que la ciudad sea regular. Bien regular. Si no…

 

¿Qué tal ves ahora al arquitecto urbanista?…

Negro porvenir le espera, si los puntos indicados hacen imposible la construcción de una ciudad regular”, como se le ha antojado al reyezuelo de marras…

 

Enunciado aburrido:

A20 Construir un triángulo, dados un vértice y el punto medio y el pie de la altura correspondientes al lado opuesto.

a) Condiciones de existencia.

b) Condiciones de regularidad (tr. equilátero).

 

A30 Hallazgo tricolor

 

Recién, un equipo de excavación ha aflorado tres puntos. Muy próximos. Por lo que los arqueólogos deducen que pueden pertenecer a una misma ciudad…

Se trata de los restos de una torre con azulejos azules; los de una puerta de acceso a la ciudad, adornada con mármol blanco; y los cimientos de un almacén que debía estar construido en ladrillo rojo –o sea: carmesí.

 

¿Te importaría mucho tomarte unos minutos, y enviarles el dibujo de la ciudad completa?

(Si eres capaz, claro. Y si es posible, con solo esos datos.)

 

En términos aburridos:

A30 Construir el triángulo completo, dados un vértice, el punto medio de otro lado y la intersección de la bisectriz con el lado concurrente en el vértice pero distinto del anterior.

Y, ya puestos, diles también:

a) Condiciones que deben cumplir esos tres puntos para que exista la ciudad. (Para que pertenezcan a una misma ciudad.)

b) Condiciones para que se trate de una ciudad regular.

 

A34 CON SOLO UN COLOR

 

Discutía yo ayer con el jefe de un equipo de excavaciones de Trianglia que para reconstruir el plano de una ciudad bastaban tres puntos… A condición de que fueran distintos, claro.

Él insistía una y otra vez que no; que era preciso que intervinieran los tres colores tradicionales en la construcciones de Trianglia… Y buena muestra de ello era la ciudad que ahora se traían entre manos (o entre pico y pala):

 

-“Hace unos días se encontraron dos tramos de vías con adornos azules. Una es de ésas que tienen una línea central con “mmmmm”, que suelen conducir a la puerta de la muralla de enfrente; y la otra, distinta, con “wwwww”, calzada que llevará o debería llevar al almacén. Sin duda que, conociendo a los triangulanos, serán también azules y distintas.

“Pues bien: aunque llegáramos a la correspondiente puerta azul y al almacén del mismo color, de un lado, y a la torre de arranque, del otro, estamos convencidos que  no nos servirá de gran cosa… Ya que: para aplicar “vuestras” técnicas de “Geometría aplicada a la Arqueología de Trianglia”, hacen falta puntos de los tres colores.

“Así que: ¡a cavar se ha dicho! Y a dejarse de pérdidas de tiempo con regla y compás…”

 

Tú: ¿qué piensas?

 

Yo te apoyo. Aunque… Aunque…: me temo que habrá que poner condiciones muy duras al ángulo con vértice en el almacén.

 

Enunciado aburrido:

A34 Construir un triángulo, dados un vértice,y el punto medio y la intersección de la bisectrizen elladoopuesto.

 

A39 UN NUEVO YACIMIENTO EN TRIANGLIA

 

Recientemente se descubrió en Trianglia una torre de azulejos azules. Y, no muy lejos, un aljibe adornado de mármoles blancos y un almacén de los llamados “carmesí”, por el color de sus adornos.

Se supone que pertenecen a una nueva ciudad.

 

Antes de continuar excavando, se preguntan los arqueólogos si la ciudad será grande o pequeña, su forma triangular, etc.

Tú, que eres experto en reconstruir triángulos con pocos datos,¿serías capaz de adelantarte a sus excavaciones, como si conocieras ya la ciudad? Les ahorrarías trabajo: bastaría con excavar directamente donde tú dijeras.

 

Por cierto:

a) ¿Tienes alguna regla para saber desde el principio si con sólo estos datos pueden localizarse de inmediato todos los puntos clave de la ciudad?

b) ¿Y para decir incluso si se trata de una “ciudad perfecta” o “regular”?

 

Enunciado aburrido:

A39 Construir un triángulo, dados un vértice y el pie de una altura y la intersección de la bisectriz, con lados opuestos distintos entre sí.

Indicar, además:

a) Condiciones de existencia.

b) Condiciones para que el triángulo, si existe, sea equilátero.

 

A54 El circunspector y su torre

 

Es la primera vez que los arqueólogos encuentran en Trianglia las ruinas de la torre de un circunspector.

Todas las ciudades tenían el suyo.

Desde su torre, el  circunspector podía tener información de todo lo que sucedía en la ciudad.

Para ello, se podía trazar desde su tal torre una circunferencia que pasaba justamente por los vértices o torres de la ciudad. O, lo que es lo mismo: se hallaba a igual distancia de las tres. De esta forma, y al ser su torre el punto más alto, todos los lugares de interés de la ciudad se encontraban bajo su mirada vigilante…

El inconveniente es que, en ocasiones, según la forma de la ciudad, se encontraba fuera de las murallas, o incluso sobre una de ellas. (¡Allá el circunspector y su “alta misión”!)

Estas torres se caracterizaban por ser de planta triangular, con la misma forma que la ciudad. Y tricolor: cada cara tenía el mismo color que la muralla a la que miraban.

 

Pues bien: se ha encontrado una “torre triangular y tricolor de circunspector”, una torre normal en azulejos azules y un aljibe en mármol blanco.

La cuestión es saber si pertenecen a una misma ciudad o no.

¿Sabrías crear una regla o criterio para averiguarlo, sin necesidad de más excavbaciones?

 

Dicho en forma aburrida:

A54 Construir el triángulo, dados elcircuncentroO, un vérticeAy el pieHbde la altura correspondiente a uno de los lados concurrentes con él.

Y, por supuesto:

a) Criterios de existencia.

B) Criterios de regularidad tr. equilátero).

 

A126 Torres hexagonales

 

Uno de los hallazgos recientes de excavación que más ha llamado la atención a los arqueólogos que trabajan en Trianglia ha sido el de las “torres tricolor”.

Hace unos días se hablaba en estas páginas de la “torre del circunspector”; triangular y tricolor. Pero hay otras: hexagonales, con fachadas opuestas de los mismos materiales y en un mismo color, por tanto. Hasta ahora se han encontrado dos:

 

Una en el cruce de las vías de acceso, que conducen desde cada puerta de la ciudad a la torre o vértice de enfrente. (O sea: donde se cruzan las medianas  de la ciudad-triángulo.) Razón por la cual han dado en llamarla “torre del bariportero”.

Y la “torre del ortoarca”, conocida por un informe de espías, pero no vista aún en la realidad. En ella, se cruzan las “vías del agua”: las que siguen la dirección de cada torre-vértice a su aljibe, adosado a la muralla opuesta en el punto más próximo. (Para los de aquí: las alturas.)

Están unidas por una espléndida avenida. Yo les he dicho que la llamen “Avenida de Euler”. Y les he sugerido también que sigan excavando más allá de la “torre del bariportero”… Pero dudo que me hagan caso…

¡Si fueran lo suficientemente prudentes como para buscar en la “mochila del arqueólogo”, que tantos sudores ha costado reunir!…

Lo más curioso es que son hexagonales, sí, pero no regulares: cada fachada está orientada exactamente a la vía que llega o parte. Con un núcleo central circular, y… Pero ésta es otra historia, que poco tiene que ver con la Arqueología, y mucho con la Geometría…

 

El caso es que, hasta el momento, se han aflorado los restos de estas dos torres hexagonales y de una de las puertas de una supuesta ciudad.

¿Piensas que bastarían esos tres puntos para reconstruir el plano de la ciudad completa? Si existió, claro.

 

A126 Dados el baricentro M, el ortocentro H y el punto medio M a de uno de los lados.

a) Condiciones de existencia del triángulo.

b) Condiciones de regularidad.

 

Planos semidestruidos

 

V12 UNA ESPECIE DE PLANO INCOMPLETO

 

A la oficina central de investigaciones cartográficas y arqueológicas de Trianglia se ha enviado un azulejo, roto y muy deteriorado. Sobre un fondo verdoso, figuraban en ella tres líneas borrosas: una azul, formada por una línea con patitas; como si fueran “mmmm. Otra igual, pero blancuzca. Y otra línea, rojiza –carmesí, ya sabes-, con trazos a ambos lados, como si fueran “hhhh”.

Una nota adjunta advertía que se sospechaba podría ser un fragmento del plano  de una ciudad.

La catalogaron con el número 12, y quedó a la espera de que alguien lo estudiara y descifrara.

 

Según las investigaciones realizadas hasta ahora, las especie de “m” indicarían vías que conducían de cada torre a la puerta, situada en el punto medio de la muralla de enfrente (o sea: las “medianas” de toda la vida). Y los símbolos parecidos a “h”, las vías perpendiculares desde la torre al aljibe situado en la muralla opuesta (lo que en mi tierra llaman “alturas del triángulo”). Ni que decir tiene que el color vendría dado por la torre y la muralla correspondiente.

 

¿Tú crees que los técnicos cartógrafos serán capaces de determinar con sólo esos tres datos la forma de la ciudad triangular a la que se refiere el fragmento de plano? ¿Que con dos medianas y una altura para lados no coincidentes ¿quedaría determinado un triángulo, el plano de esa ciudad?

 

Más:

a) ¿Pondrías alguna  condición para que esos trazos correspondieran realmente a una ciudad posible?

b) ¿Y para asegurar que se trataba de una “ciudad perfecta”? (con sus murallas iguales)

 

Tres direcciones pueden bastar para describir la ciudad completa. Con la ayuda de una regla y un compás o, si faltan, sirviéndose de la imaginación. Y conocimientos de Geometría del Plano y tu ingenio, claro.

 

Enunciado aburrido:

V12 Dadas las direcciones de dos medianas, yla de la altura correspondiente al lado distinto de los de aquéllas, dibujar un triángulo que se ajuste a ellas.

 

V23 Del barrio a la ciudad entera

 

En el Museo de Trianglia donde se conservan los hermosos azulejos y fragmentos con planos de ciudades, me mostraron el otro día uno que pensé te gustaría, pues plantea un problema original.

 

Consistía, sobre el fondo gris verdoso de todos ellos –debía ser norma cartográfica-, en un triángulo formado por dos líneas del tipo “wwww”, una azul y otra blanca, y una tercera simple “—–“, también azul. Como si fuera un plano parcial, de un barrio extremo.

Sabes bien que las primeras representan las direcciones de las “vías de avituallamiento”, que van desde una torre a su almacén en la muralla de enfrente, siguiendo la línea  de la bisectriz. Y que la línea continua indica dirección de una muralla.

 

Así pues: ¿sería posible reconstruir con solos estos datos la forma de la ciudad completa?…: como si ese barrio fuera, de alguna forma, un “resumen” o “clave” para toda la ciudad.

 

En términos aburridos, abstractos y generales:

V23 Construir el triángulo, dadas las direcciones wAy wB de dos bisectrices, y la dirección de un lado,homólogo a una de ellas.

Y, según costumbre de la casa:

a) ¿Qué condiciones deben cumplir las direcciones de esas tres líneas, para que correspondan a una ciudad triangular?

b) ¿Y para que fuera una ciudad regular?

 

V30 OTRO PLANO INCOMPLETO

 

Hagamos un experimento: sin medidas ni puntos de referencia, pero conociendo las direcciones de las calzadas que conducen a un aljibe y a un almacén en murallas distintas, y la dirección de un lienzo de la otra muralla …, ¿podría dibujarse el plano de una  ciudad de ese tipo?

Te lo digo, porque así parece ser, más o menos, lo que se puede ver en un azulejo del Museo Cartográfico de Trianglia.

 

Para entendernos podemos llamar hC a la calzada que une torre y aljibe rojos; wB a la que van desde la torre de mármol blanco al almacén también blanco; y a a la muralla con azulejos azules.

 

La ventaja que tiene trabajar con las direcciones es que al final sabes si las murallas y, con ellas, las puertas se encuentran al sur, al norte, o hacia dónde.

Y, si te lo propones, podrías decir si ese  “plano incompleto”, un mosaico casi borrado, pertenecía realmente a una ciudad de Trianglia o era un simple adorno caprichoso. Incluso podrías llegar a adelantar si se trataba de una “ciudad regular”…

 

 

Enunciado aburrido:

V30 Dada la dirección de uno de los lados, la de una altura y la de una de las bisectrices,correspondientes a vértices o ángulos opuestos diferentes, construir el triángulo correspondiente –si existe-.

a) Condiciones o criterios de existencia.

b) Condiciones de triángulo  equilátero.

V42 Lo que se vería desde una torre

 

En un fragmento de plano del Museo Cartográfico de Trianglia se distingue perfectamente una torre carmesí, de la que parten tres indicadores lineales:

a)Una línea “mmm”, rojiza. Que muy posiblemente indicaría “vía de acceso”, y que conduciría a la puerta de entrada en el punto medio de la muralla opuesta.

b) Otra también rojiza o parda, como “wwww”. Es de suponer que conduciría al almacén de su color.

c) Una línea recta “—–“, sin adornos, pero que debió ser azul. Muy posiblemente indica la dirección de esa muralla.

Y  ni una línea más.

Ni que decir tiene que, por el dibujo del fondo, quedarían bien definidas las direcciones de ésas. (Los triangulanos eran unos genios de la Cartografía.)

 

Otra cosa es saber si  con solos esos datos –tres direcciones- sería suficiente para reconstruir el plano completo de esa ciudad. O si quedaría indefinido, o sería imposible, o… ¡si podría corresponder a una ciudad regular!…

 

Para los abstractos:

V42 Dada la direcciónmCde una mediana y la direcciónwCde la bisectriz correspondiente al ángulo de igual vértice que ella, y la dirección a de uno de los lados no homólogos con ellas.

 

En el archivo central del Servicio Secreto

 

M7 Del archivo del ortoarca

Una tablilla del archivo del antiguo Servicio Central de Seguridad de Trianglia reza escuetamente así:

O sea: que están recogidas las distancias de cada torre a su aljibe. O, lo que es lo mismo: las medidas de las tres alturas del triángulo que era esa ciudad.

 

Yo no era capaz de resolver la situación. Pero preguntando y preguntando, alguien me dijo algo sobre el papel que juegan las alturas de un triángulo en su área.

Del archivo del ortoarca de…:

  • Conducción de agua azul: … pasos.
  • Conducción de agua blanca: … pasos.
  • Conducción de agua carmesí: … pasos

Y resultó ser una buena vía. (No de agua, sino de solución.)

 

Para los amantes de la síntesis simbólica:

M7 Construir un triángulo, conocidas sustres alturashA,hByhC.

No dejes de preguntarte qué condiciones deben cumplir esas medidas para que respondan efectivamente a una ciudad posible, y para que sea, además, regular.

 

M8 Canalizaciones

 

En el archivo de los servicios de espionaje y seguridad de Trianglia se ha descubierto una sección que han dado en designar como “Sección del agua”.

Todo apunta a que se trata de datos relacionados con las vías o canalizaciones. Bien porque fueron datos de construcción, bien porque se guardaran como arma para cortar suministros de ciudades rebeldes.

 

En concreto, una de esas tablillas dice:

…La vía blanca del agua mide unos … pasos, y la carmesí … pasos. Mientras que la muralla azul, limitada por las torres a las que conducen esas vías, mide exactamente … pasos…

Y lleva una anotación al pie que dice: “Imposible”.

 

Ya me contarás…

 

Enunciado aburrido:

M8 Construir un triángulo conocidas dos de sus alturas,hB y hC, y la longitud del lado a no correspondiente con ellas.

Y, para justificar la nota al pie:

a) Condiciones de existencia.

b) Condiciones de ciudad regular.

 

M35 TRABAJO DE ESPÍAS

 

En el museo de Trianglia se conservan documentos del que podría decirse era el “Servicio de Inteligencia Real”. En uno de ellos se encontraron anotaciones sobre una supuesta “Ciudad M35”. (Lo de “M35” es el número de catálogo del archivo, claro.)

Según parece, decía algo así como…:

Si se entra por la puerta azul, se llega a la torre también azul en… (un cierto código) pasos.

Si se entra por la puerta blanca, se llega a la torre blanca en… (otra vez, algo incomprensible) pasos.

El pozo rojo se encuentra a… pasos de la torre de enfrente.

¿Le sería posible al Servicio de Inteligencia conocer exactamente cómo era esa ciudad nº M35 con la sola información de esos tres datos? Es decir: que, localizados dos puntos, ¿pudieran determinar todos los puntos clave de la ciudad?

Ya sé: vas a decirme que necesitarías los datos, las medidas; las de las dos medianas, que podríamos decir serían mA y mB, y la de la altura hC. En cuanto me digas cómo lo  harías, te los doy. Pero…

 

Más:

a) Sería bueno que, para que no perdieras el tiempo, prepararas una clave para saber que los datos que te diera no serían falsos: que corresponderían a una ciudad “posible”.

Y otra para saber desde el principio si corresponden a una “ciudad perfecta” o “regular”.

 

Como puedes imaginar, estoy llamando “m” a lo que serían medidas de medianas, y “h” a la de la altura, por los signos que adornaban sus calzadas y también aparecían en los azulejos-plano. Los índices A, B y C ayudan a recordar el color de la muralla o torre al qe se refieren: azul, blanco y carmesí. Y no me digas que sería mejor poner en color las otras letras, porque hay gente que no distingue bien los colores; y sobre todo el blanco sería un lío.

 

Enunciado aburrido:

M35 Construir un triángulo conocidas las medidas dedos medianas y la de la altura correspondiente al lado distinto de los de aquéllas.

 

M58 Un informe en primera persona

 

No se trata de un informe sintético, como la mayoría de los que llevamos vistos. Sino de una especie de relato de la misión del espía. Dice así:

…Pude iniciar mis observaciones, libre ya de molestas compañías, en el almacén rojo carmesí.

Me encaminé por la vía de ese color hasta la correspondiente torre: … (wC) pasos.

Pude entonces subir a la muralla azul, que recorrí en toda su longitud: medía … (a) pasos, llegando hasta la torre blanca.

Desde ella observé que las dos murallas forman un ángulo de B°…

Me disponía a realizar otras mediciones, pero fui sorprendido  por la guardia de la ciudad, y debí descolgarme por la muralla., librándome por los pelos. O, mejor: por pies…

 

Seguro que para ti será sencillo descifrar este mensaje. Incluso reconstruir la forma y medidas de la ciudad a la que se refieren esos datos.

 

Por decirlo de forma geométrica, un tanto abstracta:

M58 Construir un triángulo, conocida la medida de uno de los segmentos debisectrizwC,la longitud a de unlado yla de unángulo B, dos a dos no homólogos.

 

Por cierto: en el reverso aparecía la indicación “Imposible”.

¿puede deducirse el motivo o motivos para que el supervisor adjuntara esa notita degradatoria del informe? A lo mejor, nada tiene que ver con el informe, sino con otras razones.

 

M67 EL INFORME GEMELO

 

Ya sé: días atrás se hablaba de “dos tablillas unidas”, con los números de catálogo 39-44. Informes de espías o exploradores del antiguo Servicio de Inteligencia de la muy antigua Trianglia.

Te mostré una. Pero, ¿y la otra?; ¿dónde está?

Aquí la tienes.

 

La segunda tablilla era muy parecida (quizás por ello acabaron por unirlas):

 

El camino que desde la torre blanca lleva hasta su aljibe es de hB pasos. Y el que desde la torre carmesí conduce a su almacén, de wC pasos. Además, la muralla azul se recorre en a pasos.

Ya sabes: los valores hC, wB y a son… ¡vaya usted a saber!… Porque no hay forma todavía de descifrar la clave que empleaban los triangulanos para escribir las cantidades en estos informes secretos.

 

Y una observación interesante: en esta tablilla aparece la medida de una muralla. Mientras que en su gemela aparecía la del ángulo opuesto. ¿Qué te parece?

 

Enunciado aburrido:

M39 Construir el triángulo, dada la medida de una de las alturas, la de un lado y la del segmento de una bisectriz,correspondientes a lados distintos.

a) Condiciones que deben cumplir las medidas para que exista un triángulo que se ajuste a ellas.

b) Condiciones para que el triángulo, de existir, sea equilátero.

 

M72 HUSMEANDO ENTRE INFORMES DE ESPÍAS

 

Revolviendo, revolviendo, uno de los empleados del Museo de Trianglia encontró dos tablillas unidas, con el número de catálogo 67-72. Lo que indica que, muy posiblemente, se refiriera a datos sobre una misma ciudad o dos ciudades gemelas.

Una de ellas decía así:

 

El camino que desde la torre carmesí lleva hasta su aljibe es de hC pasos. Y el que desde la torre blanca conduce a su almacén blanco, de wB pasos.Desde la torre azul se ven ese aljibe y ese almacén bajo un ángulo Â.

(ni que decir tiene que las medidas hC, wB y  son para indicar valores cualesquiera: no se las atribuyas a los triangulanos.).

Si empleo la “w” para indicar la medida del segmento de bisectriz es, como puedes imaginar, porque recuerda la greca o cadeneta que adorna esas vías. Y la “SA”, porque la torre desde donde se ve ese ángulo es la azul.

 

Ya sabes que cuando seas capaz de encontrar un procedimiento general para reconstruir el plano de ciudades como ésa, te proporciono los datos concretos. Y para no hacerte perder tiempo, te recomiendo:

 

  1. Tener elaboradas las condiciones que deben cumplir esas medidas, para segurarse de que pertenecen realmente a una ciudad como las que solían construirse en Trianglia.
  1. Para saber incluso, de entrada, si se trataba de una ciudad “regular” o “perfecta”.

 

 

Enunciado aburrido:

M72 Construir un triángulo que tenga comomedidasunaciertaaltura, un ángulodeterminadoyunsegmento de una bisectrizde longitud también conocida;dos a dos no homólogos.

Indicar, además:

  1. Condiciones o criterios de existencia.
  1. Condiciones o criterios para que el triángulo, de existir, sea equilátero.

M95 A las puertas de una torre

 

¡Qué curioso!…

En una excavación se ha encontrado, justo en las puertas de una torre azul unos ladrillos –lógicamente azules- que indicaban las distancias a los puntos de destino de las tres vías de rigor:

A la puerta de la ciudad:mApasos
Al almacén:wApasos
Al aljibe:hApasos

(Los datos hA, mA y wA, como es natural, son míos: ya sabes que todavía no hay forma de interpretar la escritura de cantidades en triangulano.

 

Los arqueólogos no le han dado importancia, y siguen cavando y cavando.

Échales una mano y anticípales qué forma y dimensiones tiene esa ciudad. Si puedes claro. ¡Qué sí puedes, apostaría yo!…

 

Por decirlo en lenguaje más puramente matemático y aburrido:

M95 Dadaslas longitudesmAde una mediana,hAde una altura ywAdel segmento debisectrizcorrespondientes a un mismovértice…, construir el triángulo.

De paso:

  1. Por si se encuentranh otra terna de placas como ésas, di las condiciones para que se pueda construir una ciudad con datos de ese tipo.
  1. Condiciones para que la ciudad sea regular. (Triángulo equilátero.)

 

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