Desafíos contigo mismo

 

A ras de tierra y en la estratosfera

 

(C) José Enrique Fernández del Campo

jefdelcampo@disvimat.net

Madrid-enero 2017

(Los llamaban solitarios y pasatiempos)

“Solitarios” los llamaban antiguamente. Quizás porque fueran remedio de soledades y aislamientos.

Hoy, preferimos llamarla estas situaciones problemáticas con un término más lúdico y retador. Reclamo para la puesta en juego de recursos personales; mentales, imaginativos, gráficos y manipulativos.

No necesariamente ligados a conceptos o que exijan conocimientos matemáticos para su resolución. Pero sí destrezas ligadas al quehacer matemático; aunque muchas veces no lo parezca.

En algún caso son verdaderos “desafíos estratosféricos”. Porque están un tanto por encima de los intereses de los jugadores a ras de tierra… Se refieren, especialmente, a los desafíos de descubrir las “estrategias ganadoras” de ciertos juegos compartidos. Ya sean la determinación de las situaciones de jaque mate, o su expresión como fórmula algebraica.

(La colección que aquí va creciendo se destila en laboratorios muy sofisticados… Con mucho gusto, se aceptan aportaciones.)

¿Y las soluciones?… Las soluciones…, las soluciones…: están en otra parte. Si tanto te interesan…, pídelas; aquí, claro. Pero tienen un precio: envía un nuevo desafío.

Agrupación

Como criterio elemental –y provisional- se ha tomado el de los elementos físicos necesarios para mejor conseguir el éxito. Con un poco de esfuerzo, podría prescindirse incluso de ellos. Pero es por no poner todos en un mismo cajón.

Con el Aire y la palabra

Con sólo Pequeños objetos

Escribiendo o dibujando

Cuadrados mágicos

Con Juegos de mesa de toda la vida

Con Tableros y fichas

 

Con el aire y la palabra

  

A1 Matrícula fatal

 

Mi amigo Viñu me contó en cierta ocasión el desafío que empleaba con sus alumnos cuando salían de excursión:

Cuando un vehículo les adelantaba, si eran capaces de “anular la matrícula” mientras se encontraba a la vista, desaparecería inmediatamente. No así sus ocupantes, que quedarían compuestos y sin asientos en mitad de la carretera… (¡Qué chungo, ¿no?!)

“Anular la matrícula” significaba operar sus cifras para obtener resultado 0. Debía mantenerse el orden de las cifras. Y no estaba permitido multiplicar  por 0; ya fuera una cifra de la matrícula, o como resultado parcial.

 

Por ejemplo:

1948 (1+9)-√4-8
2014 (2+0)×1-√4

¿Por qué no pruebas, a ver qué tal se te da eso de hacer desaparecer coches y camiones?

Si no estás en carretera, puedes proponerte como matrículas números de cuatro cifras formados por los números de dos páginas de libro abiertas al azar. O números cualesquiera.

Reglas:

Posición inicial.-

Número de matrícula de un vehículo en carretera (cuatro cifras).

Puede sustituirse: fechas históricas, dos hojas de libros tomadas al azar, etc.

Acciones.-

Intercalar signos de operaciones aritméticas y paréntesis entre las cifras que componen el número. Por tanto: debe mantenerse el orden, y no pueden agruparse.

No está permitida la multiplicación por la cifra 0 o como resultado de operación.

Desenlace.-

Obtener el valor 0.

Si en cinco minutos no se logra, se apunta el número y se enfrenta otro nuevo.

Elementos: Opcional: material de escritura
Objetivos didácticos: Cálculo Mental. Propiedades de las operaciones aritméticas. Empleo de paréntesis.
Nivel curricular mínimo: 13-14 años (Educación Secundaria 2º)
Referencia: Sin referencia
Variantes: Agrupar/no agrupar cifras formando números. Puede o no alterarse el orden de las cifras. Permitir/no permitir paréntesis.

 

Adaptación DV: Innecesaria.

 

A2 Cuatro cuatros

En… minutos, construir los números del 1 al 10, empleando solamente cuatro veces la cifra 4, las operaciones aritméticas y paréntesis. Pueden asociarse dos o más cifras, para formar números mayores que la decena.

Cada expresión correcta cuenta como un punto.

 

Elementos: Instrumental de escritura
Objetivos didácticos: Cálculo Mental. Jerarquía de las operaciones aritméticas. Uso de paréntesis.
Nivel curricular mínimo: 12-13 años (Educación Secundaria 1º)
Referencia: Malba Atah, “El hombre que calculaba”
Variantes: Escribir números entre 30 y 40…
Adaptación DV: Innecesaria.

 

A3 Cifras como ladrillos

Reglas:

Posición inicial.-

Mediante cualquier procedimiento (sorteo, fecha histórica, etc.), se propone una cantidad de cuatro cifras -preferentemente, sin 0- y una decena “a edificar”.

El objetivo es obtener números de la “decena a edificar”, sirviéndose de las cifras o “ladrillos” de la cantidad propuesta, de las operaciones aritméticas y, si fuera necesario, paréntesis.

Se fijarán las operaciones de acuerdo con el nivel educativo. Considerando como operaciones las potencias, raíces, factoriales…

En cada “construcción” deben aparecer las cuatro cifras, y una sola vez. No pueden asociarse para formar un número de más de una cifra.

 

Elementos: Instrumental de escritura
Objetivos didácticos: Cálculo Mental. Uso de paréntesis.
Nivel curricular mínimo: 12-13 años (Educación Secundaria 1º)
Referencia: Tradicional
Variantes: Operaciones a emplear. Uso o no de paréntesis. Posibilidad de asociar cifras…
Adaptación DV: Innecesaria.

 
Con sólo pequeños objetos

 

P1 Quitando 1 a 1

Investigar si tiene “estrategia ganadora”. Aplicable, fundamentalmente, al enfrentarse dos jugadores.

Reglas:

Posición inicial.-

Dos montones con igual número de fichas o elementos.

Acciones.-

Cada jugador, por turno, toma un único elemento de uno de los dos montones, o un elemento de cada montón.

Desenlace.-

Pierde el jugador que se lleva el último elemento.

Elementos: Elementos discretos: legumbres, fichas, monedas…
Objetivos didácticos: Desarrollar estrategias ganadoras. Anticipar situaciones.
Nivel curricular mínimo: 9-10 años (Educación Primaria)
Referencia: Tradicional
Variantes: Gana el jugador que se lleva el último elemento. Montones con  distinto número de elementos ) a determinar por sorteo). Más de dos montones, pudiendo limitar el número de elementos a tomar.
Adaptación DV: Innecesaria.

 

P2 Roba y confiesa

Determinar, si existe, la estrategia ganadora:

Reglas:

Posición inicial.-

Se dispone un montón con un número convenido de fichas y se acuerda el máximo de fichas a tomar en cada jugada.

Acciones.-

Cada jugador toma por turno las fichas que desee, menor o igual que el máximo acordado -pero siempre alguna-; debe decir o “confesar” las fichas tomadas.

Desenlace.-

Gana el jugador que se lleve la última ficha.

Elementos: Colección de pequeños objetos: fichas, legumbres, etc.
Objetivos didácticos: Estrategias numéricas
Nivel curricular mínimo: 13-14 años (Educación Secundaria 2º)
Referencia: Tradicional
Variantes: Pierde el jugador que se lleva la última ficha.
Adaptación DV: Innecesaria.

 

P3 DIVIDE y vencerás

¿Existe estrategia ganadora para el juego?:

Reglas:

Posición inicial.-

Montón con un número de fichas (elementos discretos: legumbres, etc.) acordadas de antemano (15, 20, 25…).

Acciones.-

Cada jugador, por turno, divide uno de los montones que vayan resultando en otros dos desiguales.

Desenlace.-

Pierde quien no pueda dividir ningún montón (todos tienen una o dos fichas).

 

Elementos: Opcional: elementos discretos (fichas, legumbres, etc.).
Objetivos didácticos: Combinatoria mental. Desarrollo de estrategias.
Nivel curricular mínimo: 10-11 años (Educación Primaria)
Referencia: Tradicional
Variantes: Dos/tres montones iniciales. Dividir en montones de proporción acordada 2/1, 3/1, 3/2… Más de dos jugadores.
Adaptación DV: Innecesaria. Opcional: recipientes para contener los elementos.

 

Escribiendo o dibujando

E1 Criptograma1

MI2 = CASA

¿A qué números se refiere?

 

Elementos: Instrumental de escritura
Objetivos didácticos: Análisis y combinatoria numérica.
Nivel curricular mínimo: 13-14 años (Educación Secundaria 2º)
Referencia:
Variantes:
Adaptación DV: Innecesaria.

E2 Ocho números

Tenemos los números del 1 al 8). Se trata de colocar uno en cada una de las ocho casillas de la cuadrícula 2×4 (2 filas y 4 columnas), con la condición de que ninguno de los números tenga al lado uno consecutivo con él, en horizontal, en vertical o en diagonal.

De conseguirlo en una forma, proseguir hasta obtener todas las posibles.

 

Elementos: Instrumental de escritura
Objetivos didácticos: Cultivar las relaciones espaciales y numéricas elementales en espacio reducido
Nivel curricular mínimo: 10-11 años (Educación Primaria terminal)
Referencia: Sin referencia
Variantes: Tablas de nueve  números en 3×3, diez números en una cuadrícula 2×5, 7 cifras en H…
Adaptación DV: Innecesaria.

E3 Seis por cuatro, doce

¿Pueden plantarse 12 árboles, de forma que resulten seis filas de cuatro árboles cada una?

Elementos: Instrumental de escritura o dibujo, o elementos discretos (fichas).
Objetivos didácticos: Explorar y experimentar con el espacio próximo
Nivel curricular mínimo: 12-13 años (Educación Secundaria 1º)
Referencia: Tradicional
Variantes: Cinco por cuatro, diez.
Adaptación DV: En su caso: sistema de fijación de los elementos discretos

 

E4 Triángulo mágico de diferencias

 

¿Es posible colocar los números del 1 al 6 en forma de triángulo invertido, de forma que bajo cada dos figure su diferencia absoluta?

Si es así: ¿cuántas soluciones puedes conseguir?

 

Elementos: Instrumental de escritura
Objetivos didácticos: Ejercitar la combinatoria numérica y el Cálculo Mental elemental.
Nivel curricular mínimo: 9-10 años (Educación Primaria)
Referencia: Tradicional
Variantes: Triángulos del 1..10, 1…15
Adaptación DV: Innecesaria.

En pugna con cuadrados mágicos de orden 3

Se llama “cuadrado mágico” a una tabla cuadrada de números que cumplen ser iguales las sumas de cada fila (horizontal), de cada columna (vertical) y de las dos diagonales. Esa suma recibe el nombre de “suma mágica” o “clave” del cuadrado.

El caso más sencillo son los cuadrados mágicos de orden 3; o sea: de tres filas y tres columnas: nueve números. Y, dentro de ellos, los que están formados por números naturales: 0, 1, 2, 3… Pues con sólo estos mimbres, ya hay situaciones muy diversas. Y de dificultad muy variada. Después…: después, se irán complicando las cosas.

Cuadrados mágicos de números naturales

 

Como a juicio de algunos resultan muy sencillos, se proponen agrupados de 4 en 4.

Aviso a jugadores bisoños: no se garantiza la solución, ni que, de haberla, sea única…

Si no se encuentra solución, los jugadores veteranos vienen obligados –si se atreven- a remontarse a la estratosfera para demostrar que no existen.

 

 

N1 Dados los términos, colocarlos libremente

 

Sólo se proporciona la lista de valores que deberían integrar un cuadrado mágico. Algo revuelta, eso sí.

Es el problema tradicional. Pero, en cuanto se cambia de colección de números…

 

a)

9, 1, 4, 3, 8, 5, 2, 7, 6

 

b)

5, 12, 7, 10, 8, 6, 9, 4, 11

 

c)

3, 20, 7, 14, 10, 6, 13, 0, 17

 

d)

2, 2, 5, 6, 3, 0, 1, 4, 4

 

 

N2 Colocar con fijos

 

 

aparecen tres valores en casillas variables del cuadrado, y se ofrece la lista de valores restantes, que deberán situarse en los lugares convenientes.

Los ingenuos pueden pensar que esos tres valores ya situados suponen una ayuda. Sin embargo, salvo en el caso tradicional…

 

a) b)
* * 14 * 3 *
23 * * * * *
* 5 * 2 7 *
Colocar: 8, 11, 17, 20, 26, 29 Colocar: 1, 3, 5, 6, 8, 9

 

c) d)
13 * * 10 * *
* 9 * * * *
5 * * * 14 4
Colocar: 1, 5, 9, 9, 13, 17 Colocar: 0, 3, 6, 7, 8, 11

 

 

N3 Completar un cuadrado mágico, dados tres elementos fijos y la constante mágica

 

Aquí aparecen tres valores en casillas del cuadrado, y se indica cuál es la clave o constante mágica para ese cuadrado.

Desscubrir otros seis números y emplazarlos, de forma que se cumpla lo previsto.

 

a) b)
* * 7 * 3 6
* * * * * *
1 8 * * 7 *
Constante mágica: 12 Constante mágica: 15

 

c) d)
6 * * * * 1
* * 9 * 6 *
* * 4 * * 5
Constante mágica: 15 Constante mágica: 18

 

 

N4 Rellenar el cuadrado, conociendo la constante mágica o suma clave, y tres valores (no localizados)

 

Descubrir seis números, y emplazarlos junto con los tres dados, de forma que constituyan un cuadrado mágico con la clave dada.

 

a)

Constante mágica: 21

Elementos: 11, 12, 13

 

b)

Constante mágica: 15

Elementos: 3, 6, 9

 

c)

Constante mágica: 42

Elementos: 2, 5, 14

 

d)

Constante mágica: 21

Elementos: 6, 7, 9

 

 

N5 Recomponer un cuadrado mágico desordenado, con el número mínimo de permutaciones de sus elementos

 

 

Estos cuadrados eran mágicos. Pero un pequeño teremoto desplazó algunos elementos, que luego no se colocaron en su sitio…

¿Serías tan amable de poner las cosas como es debido?

 

a) b)
6 1 8 7 4 0
5 7 9 2 5 6
2 3 4 3 8 1

 

c) d)
5 16 8 4 16 8
6 10 0 8 8 12
13 3 11 0 4 12

 

 

N6 Reparar un cuadrado de números para convertirlo en un cuadrado mágico, con el número mínimo de cambios

 

 

¿Serías capaz de modificar el menor número posible de elementos de estos cuadrados, para convertirlos en cuadrados mágicos?

 

a) b)
18 21 3 4 5 6
0 12 15 9 5 1
24 6 9 0 7 8

 

c) d)
12 0 22 18 21 3
23 11 2 0 12 15
1 24 13 24 6 9

 

 

N7 Dados tres elementos fijos,

completar con otros seis un cuadrado mágico

 

 

Lo dicho. Pero no te extrañe si no los encuentras: intenta entonces demostrar que no existen…

Como parece haber diversos grados de dificultad, ha aumentado también el número de contrincantes.

 

a) b)
* * 4 * * *
* * 9 13 * 5
* 7 * 11 * *

 

c) d)
* * * 1 * *
* * 2 * * *
11 0 * 3 0 *

 

e) f)
15 * * 8 * 6
* * 13 * * *
* 17 * 4 * *

 

g) h)
* * 10 19 * *
4 * * * * *
* 16 * 9 20 *

 

i) j)
* 14 9 * * *
* * 8 * * 24
* * * * 18 3

 

k) l)
* * * 11 12 *
7 * * 14 * *
6 1 * * * *

 


Con juegos de mesa de toda la vida

 

J1 Dominó reducido

Reglas

Posición inicial.-

Se retiran  del dominó los dobles y las fichas que sumen más de 7.

Acciones.-

Alinear fichas por coincidencia del valor, formando una cadena lineal.

¿Puede formarse una cadena que comprenda todas las fichas del “dominó reducido” resultante?

¿Cerrada o abierta?

¿Puede adelantarse una respuesta sin intentar formar la cadena?

 

Elementos: Dominó ordinario
Objetivos didácticos: Estrategias combinatorias.
Nivel curricular mínimo: 10-11 años (Educación Primaria)
Referencia: Tradicional
Variantes: Modificar el criterio de eliminación de fichas: que sumen par, retirar dos palos, etc.
Adaptación DV: Dominó accesible

 

J2 Dominó de incrementos

Reglas:

Posición inicial.-

En un juego de dominó ordinario, se retiran los “dobles”.

Acciones.-

(Al “valor 0” le correspondería el juego ordinario.).

Se colocan las fichas “en cadena” de acuerdo a este “valor de variación”. Es decir: a un  valor n puede seguirle una ficha por su valor n+1 ó n-1.

La “salida” deberá hacerse con una ficha de restos distintos.

¿Pueden colocarse todas las fichas en una única cadena? ¿Cuál es el número máximo?

¿Cerrada o abierta?

¿Puede adelantarse la respuesta antes de intentar formar la cadena?

Elementos: Dominó ordinario
Objetivos didácticos: Exploración de relaciones numéricas elementales
Nivel curricular mínimo: 13-14 años (Educación Secundaria 2º)
Referencia: Sin referencia
Variantes: Valor de variación 2, 3. Retirar cierto grupo de fichas.
Adaptación DV: Dominó accesible

 

J3 Multimedia

 

Reglas:

Posición inicial.-

Cada jugada se realiza sobre siete cartas.

Acciones.-

Distribuir las cartas en dos grupos de tres y cuatro.

Se calcula el valor resultado del producto del grupo de tres cartas, más la suma del grupo de cuatro.

 

¿Puede recomendarse alguna estrategia favorable?…

Ejercitarse en el juego, tomando grupos de cartas.

 

Elementos: Baraja española o francesa
Objetivos didácticos: Cálculo Mental elemental. Combinatoria aritmética.
Nivel curricular mínimo: 9-10 años (Educación Primaria)
Referencia: Adaptación de “F. Corbalán y J. M. Gairín, 1988. Harvey-Brigth, 1985.”
Variantes: Número inicial  de cartas. Número de grupos y cartas en cada uno. Asignación de puntos. Baraja especial numérica.
Adaptación DV: Naipes marcados en braille

 

Con tableros y fichas

T1 Las esposas del rajá

(Ajedrez de una figura)

En aquellos tiempos, los rajás orientales podían tener… varias esposas.

Para un cierto rajá, que tenía en su palacio un harén semejante a un tablero de ajedrez o damas (en cuadrícula 8×8), ¿cuál es el número máximo de esposas que podría haber tenido, sin peligro de que se vieran y se tiraran de los pelos?

Las reinas tienen las posibilidades de amenaza y ataque de la reina del ajedrez.

 

¿Cuál es el número máximo de reinas (o damas) que pueden colocarse sobre el tablero, de forma que no coincida alguna de ellas en las filas, columnas o diagonales de otra cualquiera.

 

Elementos: Juego de ajedrez o damas
Objetivos didácticos: Dominio de las direcciones en el espacio próximo
Nivel curricular mínimo: 11-12 años (Educación Primaria terminal)
Referencia: Tradicional
Variantes: Tablero 6×6, 5×5.
Adaptación DV: Ajedrez accesible

 


T2 Arqueros mal avenidos

(Ajedrez de una figura)

 

 

Reglas:

 

Posición inicial.-

Tablero vacío 8×8 de ajedrez.

 

Acciones.-

Se colocan “arquero” sobre el campo de guardia, fuera del alcance de cualquiera de los “arqueros” ya situados.

Cada “arquero” domina en línea recta, siguiendo las direcciones diagonales (análogamente a los “alfiles” del ajedrez)

 

¿Cuál es el número máximo de “arqueros” que pueden situarse en el tablero sin que se amenacen entre sí?

 

Elementos: Tablero de ajedrez y fichas (función de alfiles)
Objetivos didácticos: Ejercitarse en las direcciones del espacio próximo.
Nivel curricular mínimo: 11-12 años (Educación Primaria terminal)
Referencia: Tradicional
Variantes: Tablero 6×6, 5×5…
Adaptación DV: Ajedrez accesible

 


T3 Peones no alineados

 

 

¿Cuál es el número máximo de peones que pueden colocarse sobre un tablero de ajedrez, de forma que no haya tres alineados?

(Advertencia.- “Alineados”:: algo más que líneas del tablero. Tres cuadros “alineados” pueden no estar contiguos –tampoco en diagonal-, ni ser equidistantes.).

 

Elementos: Ajedrez
Objetivos didácticos: Relaciones espaciales en el espacio próximo
Nivel curricular mínimo: 11-12 años (Educación Primaria)
Referencia: Sin referencia
Variantes: Peones alineados equidistantes. Dimensiones del tablero. Cuatro en línea.
Adaptación DV: Ajedrez accesible.